マルチストリートブラフの数学
ブラフは、相手を欺く技術と戦略的な計算を組み合わせ、ハンドの結果を左右するポーカーの基本スキルです。ブラフの基礎を解説した記事は数多くありますが、トリプルバレルブラフの理論まで深堀したものはほとんどありません。
この記事では、ポーカーにおけるマルチストリートブラフの数学、具体的には複数のストリートにわたってブラフしたときの期待値（EV）の計算方法を解説します。
ブラフを直感任せのギャンブルから計算に基づく戦略へ変える、数学的な仕組みを検証します。
基礎：シングルストリートブラフ
シングルストリートブラフの基本理論はシンプルです。
- 最小ディフェンス頻度（MDF）を計算する
- ブラフで利益を出すには、相手が（1−MDF）を上回る頻度でフォールドする必要がある
ピュアブラフの期待値も簡単に計算できます。
EV（ブラフ）＝フォールド率×ポット−ディフェンス率×ベット額
EV>0なら、利益の出るピュアブラフです。計算はこれだけです。
ただし、次の点を考える必要があります。
リバーより前でブラフをコールされても、諦める必要はありません。後のストリートでブラフを続ける選択肢があります。
この選択肢を加えると、計算はどう変わるのでしょうか？
クイズ
簡単なトイゲームで、直感的な理解を試してみましょう。
フロップでピュアブラフを持っており、ポットサイズのベットでトリプルバレルブラフを検討しています。相手はフロップとターンを必ずコールします。トリプルバレルのEVを0にするには、相手がリバーでどれくらいフォールドする必要があるでしょうか？
選択肢：
A）50%フォールド
B）61%フォールド
C）72%フォールド
D）83%フォールド
C）72%フォールド
多くのプレイヤーは、ポットサイズの3ストリートピュアブラフでEVを0にするには、リバーで少なくとも50%（＝1−MDF）フォールドさせればよいと考え、Aを選ぶでしょう。しかし、この計算ではフロップとターンのブラフで失ったチップが考慮されていません。リバー単体でEVを0にするだけでは不十分であり、リバーに到達するまでに積み重なった損失をすべて取り戻せるほど、リバーのブラフで利益を出す必要があります。
解説
トリプルバレルを+EVにするには、フロップとターンのベットで失ったチップを回収できるほど、相手がリバーで高頻度にフォールドしなければなりません。リバー単体のプレイではなく、フロップからリバーまでのライン全体で少なくともEVを0にする必要があります。
正解は、それぞれがポットに入れたチップを追うことで計算できます。
開始時のポットを1とすると、フロップ、ターン、リバーでそれぞれ1、3、9をベットします。トリプルバレルをすべてコールされた場合、失うのは開始時のポット（1＋3＋9）＝13個分です。成功した場合は、開始時のポットと相手が入れたチップを合わせて（1＋1＋3）＝5個分を獲得します。つまり、5を得るために13をリスクにさらしています。このオッズを必要なフォールド率に変換すると、13：5＝13÷（13＋5）＝72.2%です。
- 開始時のポット＝1
- 相手がフォールドした場合の利益＝開始時のポット＋相手が入れたチップ
＝（1）＋（1＋3）＝5 - 相手がコールした場合の損失＝自分が入れたチップ＝1＋3＋9＝13
- 5を得るために13をリスクにさらす
- リバーでEVを0にするフォールド率＝リスク÷（リスク＋リワード）＝13÷（13＋5）＝72.2%
ポットサイズのトリプルバレルブラフでEVを0にするだけでも、相手はリバーのベットに72.2%フォールドする必要があります。これを下回る場合は、フロップで諦めた方が高いEVになります。
一般に、マルチストリートブラフはシングルストリートブラフよりもリスク・リワード比が悪くなります。得られる利益よりも多くをリスクにさらすためです。
ただし、この設定は極端です。フロップとターンを100%コールし、リバーで¾をフォールドするプレイヤーはいません。次は、より現実的で複雑な例を見ていきます。
マルチストリートブラフの計算
ここからは、より現実的な状況に対応できるよう、マルチストリートブラフの計算を順に見ていきます。
この計算をプレイ中に行う必要はありません。プレイヤープールの傾向を調べ、スプレッドシート計算機を使って、フォールド過多のラインを探す方法がおすすめです。
計算を簡単にするため、3つの仮定を置きます。
I. チェックすると、ブラフは必ず負ける
II. 最後までコールされると、ブラフは必ず負ける
III. 相手はコールかフォールドしかしない
この仮定では、選べるのは次の4つの戦略だけです。
- チェック：すぐに諦め、それ以上のチップを失わない
- ベット→チェック：1回ベットし、コールされたらターンで諦める
- ベット→ベット→チェック：2回ベットし、コールされたらリバーで諦める
- ベット→ベット→ベット：諦めずに3回ベットする
各戦略のEVを計算して比較し、最も高いEVになる戦略を選びます。
戦略（1）チェック
このプレイを選ぶ時点を基準にEVを測るため、EVは0です。すぐに諦めれば、ブラフへそれ以上のチップを投資せずにハンドを失います。
EV（チェック）＝0
戦略（2）ベット→チェック
1回ベットし、コールされたらターンで諦める戦略です。期待値は通常のシングルストリートブラフと同じ方法で計算できます。
各結果の発生確率（p）と値（v）を掛け、その合計から期待値を求めます。
EV（ベット→チェック）＝p₁v₁＋p₂v₂
具体的に書くと、次の式になります。
EV（ベット→チェック）＝フロップのフォールド率×ポット＋フロップのコール率×（−フロップのベット額）
戦略（3）ベット→ベット→チェック
2回ベットし、コールされたらリバーで諦める戦略です。戦略（2）より少し複雑で、結果は3通りあります。
相手がフロップですぐにフォールドすれば、ポットを獲得します。フロップをコールしてターンでフォールドした場合は、ポットと相手のフロップコール分を獲得します。2回ともコールされた場合は、フロップとターンのベット額を失います。
EV（ベット→ベット→チェック）＝p₁v₁＋p₂v₂＋p₃v₃
具体的に書くと、次の式になります。
EV（ベット→ベット→チェック）＝（フロップのフォールド率）×（ポット）＋（フロップのコール率×ターンのフォールド率）×（ポット＋フロップのベット額）
＋（フロップのコール率×ターンのコール率）×（−フロップのベット額−ターンのベット額）
戦略（4）ベット→ベット→ベット
最後に、4通りの結果があるトリプルバレル戦略を検証します。
EV（ベット→ベット→ベット）＝p₁v₁＋p₂v₂＋p₃v₃＋p₄v₄
スプレッドシート計算機
ここまでの式は長く、計算にも手間がかかります。難しくはありませんが、単調な作業であり、このような計算にはスプレッドシートが向いています。無料の計算機はこちらです。
使い方は簡単です。各ストリートのベットサイズとフォールド率を入力するだけで、先ほどの仮定に基づく各戦略のEVが表示されます。
例題
フロップでピュアブラフを持っています。相手はフロップではフォールド過多、ターンではディフェンス過多となり、リバーではチップを失うことを恐れてプレイするタイプです。
先ほど説明したとおり、各ストリートのベットサイズとフォールド率を入力します。
最初に、ベットサイズを割合からチップ数へ変換します。ポットが大きくなるほど、同じベット割合でもリスクにさらすチップは増えるためです。すべて同じ単位で比較できるよう、ここでは開始時のポットを1チップとします。
次に、各戦略のEVを計算します。
戦略（1）チェック
即座に諦めます。
EV＝0
戦略（2）ベット→チェック
1回ベットして諦めます。
EV（ベット→チェック）＝p₁v₁＋p₂v₂＝0.4−0.2＝0.2
1回ベットする戦略の期待値は、開始時のポット0.2個分です。
戦略（3）ベット→ベット→チェック
2回ベットして諦めます。
EV（ベット→ベット→チェック）＝p₁v₁＋p₂v₂＋p₃v₃＝0.4＋0.263−0.633＝0.03
2回ベットする戦略の期待値は、開始時のポット0.03個分です。
前の戦略よりEVが下がっています。相手がターンのベットをディフェンス過多にしているため、フロップで得たフォールドエクイティの大半を失うからです。フロップではフォールドエクイティによって0.4ポットを獲得しましたが、ターンでもう一度バレルを打つことで0.37ポットを失いました。
戦略（4）ベット→ベット→ベット
一切諦めずにトリプルバレルを打ちます。撤退も降参もありません。
EV（ベット→ベット→ベット）＝p₁v₁＋p₂v₂＋p₃v₃＋p₄v₄
＝0.4＋0.263＋0.672−0.807
＝0.528
3回ベットする戦略の期待値は、開始時のポット約0.53個分です。ここまでで最も高いEVになります！
ターンのバレル単体では利益が出ませんでしたが、リバーでもう一度ベットすることで、その損失を上回る利益を得られました。
最後に、計算したEVを基に各戦略を比較します。
ここで示したEVの単位は、1チップに設定した「開始時のポット」です。開始時のポットが10チップ、10bb、10ドルなら、それぞれの数値を10倍します。
ベット→チェック→ベットはどうなる？
ここまでは、チェックしたら必ず諦めると仮定してきました。しかし、常にそうなるとは限りません。例題の相手はターンでディフェンス過多になり、リバーではフォールド過多になります。それなら、ターンをチェックする手もあります。
新しい戦略を加えてみましょう。
戦略（5）ベット→チェック→ベット
- ターンでチェックした場合、相手は50%の頻度でベットすると仮定します。そのレンジはバリューに偏っており、ベットされたら必ずフォールドします。
- 相手がターンをチェックバックした後、リバーでポットベットすると75%の頻度でフォールドすると仮定します。この場合、リバーでは1.66チップのポットに1.66チップをベットします。
EV（ベット→チェック→ベット）＝p₁v₁＋p₂v₂＋p₃v₃＋p₄v₄
＝0.4−0.099＋0.299−0.149
＝0.451
ターンでチェックを挟んで2回ベットする戦略の期待値は、開始時のポット約0.45個分です。よく見えましたが、トリプルバレルの方が優れています。
まとめ
ポーカーを解説した記事や本の多くは、シングルストリートブラフの計算までしか扱っておらず、その計算をマルチストリートブラフにそのまま使うことはできません。「プレイヤープールはリバーでフォールド過多だから、そのラインへ誘導すればよい」と説明する人も多いでしょう。しかし、リバーのブラフで利益が出ても、フロップとターンのブラフで生じた損失を必ず補えるとは限りません。そのため、プレイヤープールのデータを分析するには、マルチストリートの計算が欠かせません。フォールド過多のラインを探すときは、各ストリートを個別に見るだけでなく、ライン全体のEVを計算して+EVのブラフを見つける必要があります。
マルチストリートブラフのEVを求める数学自体は難しくありませんが、計算には手間がかかります。例題を手計算することにも価値はありますが、実際には計算機を使った方が、多くのスポットをすばやく効率よく検証できます。
大量のデータを分析しない場合でも、押さえておくべきポイントがあります。
- マルチストリートブラフは、シングルストリートブラフよりリスク・リワード比が悪くなる傾向があります。ストリートが進んでポットが大きくなるほど、リワードよりリスクの増え方が大きくなります。
- リバーで利益の出るブラフがあっても、すべてのハンドでトリプルバレルを打ってよいわけではありません。ライン全体で利益を出すには、リバーのブラフEVでフロップやターンのマイナスEVを補う必要があります。
- EVを計算するときは、すべての戦略と、それぞれの戦略から生じる結果を分けて考えるのが効果的です。すべてを1つにまとめた長い式を作るのではなく、上の例のように表へ分解します。
- ライブゲームのプレイ中に計算できる内容には限界があります。マルチストリートブラフの計算は、エクスプロイトを分析する際にテーブル外で行います。
- 最もわかりやすいライン≠最も利益の大きいラインとなる場合があります。
