インプライドオッズを可視化する

インプライドオッズは、ポーカーの理論で欠かせない指標です。言葉自体は聞いたことがあり、基本的な考え方も理解しているかもしれませんが、ソルバー時代に入ってこの概念は大きく発展しました。

インプライドオッズとは？

インプライドオッズとは、ハンドが持つエクイティ以上に期待できる価値です。具体的には、相手を後のストリートで逆転したときに得られると期待する価値を指します。「ダイレクトポットオッズ」と対になる概念で、エクイティだけでは足りないドローでも、利益的にコールできる理由を説明できます。

ダイレクトポットオッズとインプライドオッズ

例を見てみましょう。

ターンで10bbのポットサイズベットをされました。こちらはエクイティ25%のドローです。
コールすべきでしょうか？

ダイレクトポットオッズの計算

ダイレクトポットオッズとは、コールで少なくともブレークイーブンにするために必要な勝率です。この計算では、その後に追加のチップが入らないと仮定します。

コールのEV=（25%×20bb）−（75%×10bb）=5−7.5=−2.5bb

このコールは明らかにマイナスEVです。ただし、この計算では後のストリートでポットに入るチップを考慮していません。ここでインプライドオッズが必要になります。

インプライドオッズの計算

このコールを正当化するには、リバーで追加のチップ（M）を獲得する必要があります。ドローが完成しなければ、必ずフォールドできます。

コールのEV=（25%×（20+M））−（75%×10）

ブレークイーブンにするには、ドローが完成したときにいくら追加で獲得する必要があるでしょうか？

EVを0としてブレークイーブンポイントを求め、Mについて解きます。

0=（25%×（20+M））−（75%×10）
M=10

このコールを正当化するには、リバーで平均10bbを追加で獲得する必要があります。 リバーでわずか⅓ポットのベットを取れればよいため、ドローが完成した際に少なくとも⅓ポット分のバリューを取れるなら、このコールは利益的になります。

つまり、このコールには、リバーで少なくとも10bbを追加で獲得できる見込みが含まれています。インプライドオッズという名前は、利益が「見込まれている（implied）」ことに由来します。

EQRとの関係

まず、簡単なポットオッズの計算から始めます。ポット15bbに対して、BBは26.25bbをベットされています。コールをブレークイーブンにするには、長期的に少なくとも26.25bbを回収する必要があります。

5♥3♥のような、エクイティが31.68%しかないマージナルなコンボドローを持っているとしましょう。ダイレクトポットオッズは次のようになります。

必要なエクイティ=コール額/（コール後のポット−レーキ）
BBがコールするには、26.25/（15+（26.25×2）−0.6）=39.24%のエクイティが必要です。

SBがオールインしている場合（あるいは、リバーで必ずチェックダウンになる場合）なら、簡単にフォールドできます。

しかし、コール後も66.25bbのスタックが残り、そのチップをさらに獲得することができます。

インプライドオッズがあるため、5♥3♥はドローが完成したときに、エクイティから想定される以上のポットを獲得する見込みがあります。

5♥3♥のEVは、フォールドより5.33bb高くなります。つまり、コールした場合の期待回収額は26.25bb+5.33bb=31.58bbです。コール後のポットは67.5bbなので、期待されるポットシェアは31.58/67.5=46.78%（レーキを除く）になります。

まとめると、次のとおりです。

つまり、ハンドが持つエクイティに対する実現率は、46.78/31.68=148%です。

より正確には、後のストリートで相手のバリューハンドを逆転できるため、エクイティから想定されるよりもEVが高くなっています。これがインプライドオッズの本質です。

リバースインプライドオッズ

リバースインプライドオッズもあります。たとえば、ドローが完成しても大きなポットを失う場合があります。メイドハンド（役があるハンド）でも、後のストリートでドミネイトされたり逆転されたりすると、エクイティに見合うポットシェアを獲得できません。2番目に強いハンドが完成すると、利益を大きく損なう可能性があります。

先ほどのJ♥T♦6♥ 2♣の例に戻り、今度はK♠J♠を持っているとしましょう。

K♠J♠には十分なエクイティがあり、相手レンジの半分以上に勝っています。それでも、相手のオーバーベットに対するコールはブレークイーブンを僅かに上回るだけです。相手がポラライズしたレンジでベットしていると、マージナルなメイドハンドでは相手のバリューハンドを逆転しにくくなります。このようなハンドはブラフキャッチャーに近く、リバースインプライドオッズの影響を強く受けます。

今回もブレークイーブンには26.25bbの回収が必要です。K♠J♠の期待回収額は26.25+2.21=28.46bbで、ポット全体の約28.46/67.5=42%になります。

=42.16%/54.71%

つまり、ハンドが持つエクイティの77%しか実現できていません。

では、残りのEVはどこへ消えたのでしょうか？

SBはエクイティを過剰に実現でき、リバーではこちらのトップペアを、コールとフォールドのEVがほぼ同じになるスポットへ何度も追い込めます。SBは強いバリューとブラフを組み合わせて、こちらに対するレンジをポラライズできます。さらに、後のストリートでこちらを逆転したときには、トップペアからスタックを奪って大きな利益を得られます。こちらはすべてのリバーベットをコールできません。また、相手レンジが強すぎるため、こちらのブラフキャッチャーではさらに弱いハンドからバリューを取れません。

図で確認してみましょう。相手のオーバーベットに対するBBのエクイティ分布です。線上の点は、BBが持つすべてのKJコンボを表します。長く平らな線が示すように、BBレンジの大部分はブラフキャッチャーで、コールとフォールドがインディファレントになっています。

スタックの深さとインプライドオッズの関係

インプライドオッズを評価するうえで、最大の要因はスタックの深さです。「implied」には、後のストリートで追加のチップを獲得する見込みが含まれています。残りスタックが多いほど、その後に獲得または失う可能性のあるチップも増え、インプライドオッズとリバースインプライドオッズの影響も大きくなります。

標準的なキャッシュゲームで、スタックの深さによってソルバーのHJオープンレンジがどう変わるか比較します。

50bbでのHJオープン

後のストリートで相手がチップを入れる可能性も考慮する必要があります。たとえば、フラッシュが完成するカードが落ちると必ずアクションを止める相手には、フラッシュドローのインプライドオッズが低くなります。

100bbでのHJオープン

スタックがディープになるほど、ソルバーでは低いポケットペアやスーテッドコネクターなど、インプライドオッズの高いハンドが優先されます。差は僅かですが、トーナメントのレンジ表ではさらに明確に表れます。

ショートスタックではエクイティの高いハンドによるオールインが中心ですが、スタックがディープになるにつれて、インプライドオッズが高く「プレイしやすい」ハンドまでレンジが広がります。60bb以上になると、他のプレイヤーもインプライドオッズの上昇によって広いレンジで参加できるため、オープンレンジは再び狭くなります。

マルチウェイでのエクイティ維持率からインプライドオッズを可視化する

インプライドオッズは、そのハンドがドローによってナッツ級まで強くなる可能性と関係しています。この性質を「プレイアビリティ」と呼ぶこともあります。以下のGIFでは、任意の2枚のカードについて、プレイヤー数を2〜14人に変えたときのエクイティ分布を色分けして示します。ここでは、マルチウェイになるにつれてエクイティがどう変化するかを確認できます。正確な数値より、グラデーションに注目してください。

プレイヤー数を変えてインプライドオッズの価値を調整すると、GTOのオープンレンジにおおむね似たエクイティのグラデーションを作れることがわかりました。たとえば、上位44%のハンドが持つエクイティのグラデーションと、標準的な100bbでのBTNオープンレンジを並べて比較できます。

このスプレッドシートで検証しましょう！

残っているプレイヤーは3人だけですが、100bbではインプライドオッズの影響が強く表れます。GTOのEVグラデーションを再現するため、マルチウェイのエクイティ計算でプレイヤー数を8人まで増やし、インプライドオッズを意図的に高めました。

プレイヤーを増やすほど、エクイティのグラデーションは、ナッツ級のハンドを引きやすいスーテッドハンドやコネクト度の高いハンドへ移ります。

ここではインプライドオッズを調整可能なパラメータとして扱い、ハンドの種類ごとに備わるインプライドオッズを意図的に目立たせています。より正確には、各ハンドが強い形へ発展しやすいという固有の性質を強調しています。

この画像では、実際には3人しか残っていないスポットを、プレイヤー数8人のマルチウェイエクイティで近似しています。100bbで強く表れるインプライドオッズの影響を再現するため、計算上のプレイヤー数を意図的に増やしました。この分析ではブロッカー効果を過小評価するため、アーリーポジションのオープンレンジを再現するのは難しくなります。私が作成するのを楽しんだのと同じくらい、皆さんにもこのインプライドオッズの可視化を楽しんでもらえたなら嬉しいです。